행렬

3차원 컴퓨터 그래픽에서 행렬은 비례나 회전, 이동 같은 기하학적 변환을 간결하게 서술하는 데 쓰이며, 점이나 벡터의 좌푤르 한 기준계에서 다른 기준계로 변환하는 데에도 쓰인다. 이번 장에서는 행렬의 수학을 살펴본다.

 

이번 장의 목표

1. 행렬과 행렬에 대해 정의되는 연산들을 이해한다.
2. 단위행렬이 무엇인지, 그리고 행렬의 전치, 행렬식, 역행렬이 무엇인지 배운다.
3. 벡터와 행렬의 곱셈을 일차결합의 관점에서 바라보는 방법을 배운다.
4. 행렬 수학에 쓰이는 XNA Math 라이브러리의 주요 클래스들과 함수들에 익숙해진다.

 

정의

m x n 행렬(matrix) M은 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 실수들의 정사각 배열이다. 행(row)들의 개수와 열(column)들의 개수를 곱한 것을 행렬의 차원이라고 부르고, 행렬을 구성하는 수들을 원소(element) 또는 성분(entry)이라고 부른다. 행렬의 한 성분을 지치할 때에는 그 성분의 행과 열 번호를 이중 아래첨자(색인)로 지정하는 M(ij)형태의 표기법을 사용한다. 여기서 첫 아래첨자가 행이고 둘째 아래첨자가 열이다.

 

다음 행렬들을 생각해 보자.

 

1. 행렬 A는 4 x 4 행렬이다. 행렬 B는 3 x 2 행렬이다. 행렬 u는 1 x 3 행렬이다. 그리고 행렬 v는 4 x 1 행렬이다.
   
   
2. 행렬 A는 4행(넷째 행) 2열(둘째 열)의 성분은 A(42) = -5 이다. 그리고 행렬 B의 2행 1열 성분은 B(21)이다.
   
   
3. 행렬 u와 v는 각각 행이나 열이 하나라는 점에서 특별한 행렬이다. 이런 종류의 행렬을 흔히 행벡터(row vector)나 열벡터(column vector)라고 부르는데, 이는 이들의 벡터를 행렬 형태로 나타내는 데 쓰이기 때문이다.(예를 들어 벡터 표기법  (x,y,z)과 행렬 표기법 [x,y,z]를 자유로이 맞바꾸어 사용할 수 있다). 행벡터나 열벡터에서는 한 성분을 지칭할 때 이중 아래첨자를 사용할 필요가 없다. 그냥 아래첨자 하나면 된다.

 

 

종종 한 행렬의 행들을 벡터들로 간주하는 것이 편리할 때가 있다. 예를 들어 다음과 같은 표기가 가능하다.

여기서 A(1,*) = [A(11),A(12),A(13)] 이고 A(2,*) = [A(21),A(22),A(23)] , A(3,*) = [A(31),A(32),A(33)]이다. 이러한 표기에서 첫 색인은 해당 행을 지정하며, 둘째 색인의 '*'는 하나의 행벡터 전체를 뜻한다. 열벡터들도 마찬가지로 표기할 수 있다.

 

여기서

이다. 이 표기법에서 둘째 색인은 해당 열을 지정하며, 첫 색인의 '*'는 하나의 열벡터 전체를 뜻한다.

이제 행렬의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈을 정의해 보자.

 

1. 두 행렬은 오직 대응되는 성분들이 상등일 때에만 상등이다. 따라서, 두 행렬의 상등을 비교하려면 두 행렬의 행 수와 열 수가 동일해야 한다.
2. 두 행렬을 더할 때에는 대응되는 성분들을 더한다. 따라서 행 수와 열 수가 같은 행렬들만 덧셈이 가능하다.
3. 행렬에 하나의 스칼라 곱할 대에는 행렬의 모든 성분에 그 스칼라를 곱한다.
4. 행렬의 뺄셈은 스칼라 곱셈과 행렬 덧셈으로 정의한다. 즉, A - B = A+ (-1 · B ) = A + (-B)이다.

 

덧셈과 스칼라 곱셈이 성분별로 이루어지기 때문에, 행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈도 실수의 덧셈 및 곱셈의 다음과 같은 속성들을 만족한다.

1. 덧셈의 교환법칙
   A + B = B + A 
2. 덧셈의 결합법칙
   (A+B) + C = A + (B + C)
3. 행렬들에 대한 스칼라의 분배 법칙
   r(A+B) = rA + rB
4. 스칼라들에 대한 행렬의 분배 법칙
   (r + s)A = rA + sA