2022. 10. 10. 01:49ㆍPublic/Math
행렬식(determinant)은 정방행렬(정사각형 행렬)을 받아서 실수 값을 산출하는 특별한 함수이다. 정방행렬 A의 행렬식을 흔히 det A로 표기한다. 기하학적으로 행렬식은 상자의 부피와 관련이 있는데, 행렬식이 선형변환 하에서 그 부피가 변하는 방식에 대한 정보를 제공함을 증명하는 것이 가능하다. 또한 행렬식은 크라메의 법칙(Cramer's rule)을 이용해서 1차 연립방정식을 푸는데에도 쓰인다. 그러나 이 책에서 행렬식을 이야기하는 것은, 행렬의 역을 구할 때 행렬식이 쓰이기 때문이다. 또한 다음과 같은 명제를 증명하는 것이 가능하다. 정방해렬 A는 오직 det A != 0 일 때에만 가역(역행렬이 존재함)이다. 이 명제를 이용하면 주어진 행렬의 역을 구하는 것이 가능한지를 손쉽게 판정할 수 있다. 행렬식의 정의를 배우기 전에, 먼저 소행렬(matrix minor, 부분행렬)이라는 개념부터 살펴보자.
소행렬
n x n 행렬 A가 주어졌을 때, 그 소행렬
는 A의 i번째 행과 j번째 열을 삭제한 결과로 생긴 (n - 1) x (n -1) 행렬이다.
[예시 1]
다음 행렬의 소행렬
을 구해 보자.
은 첫 행과 첫 열을 제거한 것이다.
은 둘째 행과 둘째 열을 제거한 것이다.
은 첫 행과 셋째 열을 제거한 것이다.
행렬식의 정의
한 행렬의 행렬식은 재귀적으로 정의된다. 예를 들어 4 x 4 행렬의 행렬식은 3 x 3 행렬의 행렬식을 항으로 하여 정의되고 3 x 3 행렬의 행렬식은 2 x 2 행렬의 행렬식으로, 2 x 2 행렬의 행렬식은 1 x 1 행렬의 행렬식으로 정의된다 (1x1 행렬 A = [A_{11}]의 행렬식은 간단하게 정의되는데, 바로 det[A_{11}] = A_{11}이다).
A가 n x n 행렬이라고 할 때, n > 1 에 대해 A의 행렬식은 다음과 같이 정의된다.
2 x 2 행렬의 소행렬
의 정의를 적용해 보면, 2 x 2 행렬의 행렬식의 정의는 결국 다음과 같다.
비슷한 방식으로 3 x 3 행렬의 행렬식 공식을 구해 보면
그리고 4 x 4 행렬의 행렬식은 다음과 같다.
3차원 그래픽에서는 주로 4 x 4 행렬을 다루므로, 여기서 n > 4 인 경우에 대한 구체적인 공식을 더 나열할 필요는 없겠다.
[예시2]
다음 행렬의 행렬식을 구해 보자.
앞에 나온 정의를 적용해 보면 다음이 나온다.
