2022. 11. 6. 17:05ㆍPublic/Math
기하학적으로 한 벡터의 크기는 해당 지향 선분의 길이이다. 벡터의 크기(길이)는 이중 수직선으로 표기한다. 예를 들어 u의 크기 ||u||이다. 벡터 u = (x,y,z)가 주어졌을 때, 그 크기를 대수적으로 구해보자. [그림1.8]에서 보듯이, 3차원 벡터의 크기는 피타고라스의 정리
를 두 번 적용해서 계산할 수 있다.
우선 xz 평면에 있는, 직각을 낀 두 변의 길이가 x와 z이고 빗변의 길이가 a인 삼각형을 보자. 피타고라스의 정리에 따르면
이다. 이제 두 변의 길이가 a와 y이고 빗변의 길이가 ||u||인 삼각형을 보자. 또다시 피타고라스의 정리를 적용하면, 다음과 같은 벡터 크기 공식이 나온다.
즉 ‖u‖ = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) 참고링크 : https://kukuta.tistory.com/152
벡터를 순전히 방향을 나타내는 용도로만 사용하는 경우에는 벡터의 길이가 중요하지 않다. 그런 '방향 전용' 벡터는 길이를 정확히 1(단위 길이)로 맞추어 두면 편리하다. 크기가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 부르고, 임의의 벡터를 단위 벡터로 만드는 것을 정규화(normalizeation)라고 부른다. 벡터의 각 성분을 벡터의 크기로 나누면 벡터가 정규화된다.
다음이 정규화 공식이다.
이 공식이 맞는지 확인하기 위해, 단위벡터 u의 길이를 실제로 계산해보자.
따라서 \hat{u}는 실제로 단위벡터이다.
예1.3
벡터 v = (-1,3,4)를 정규화해보자.
이므로
이다. \hat{v} 의 길이를 계산해 보면 실제로 단위벡터인지 확인할 수 있다.
1.3 내적
점곱(dot product)이라고도 부르는 내적(inner product)은 스칼라값을 내는 벡터 곱셈의 일종이다. 결과가 스칼라라서 스칼라곱(scalar product)이라고 부르기도 한다.
u = (u_x,u_y,u_z) 이고 v = (v_x,v_y,v_z)라고 하자. 그러면 내적은 다음과 같이 정의된다.
다른 말로 하면 내적은 대응되는 성분들의 곱들의 합이다.
내적의 정의만 봐서는 내적의 기하학적 의미가 분명하지 않은데, 코사인 법칙을 적용해 보면(연습문제10 참고) 다음과 같은 관계를 찾아낼 수 있다.
여기서 \theta(세타) 는 벡터 u와 v 사이의, 0<= \theta <= \pai 를 만족하는 각도이다(그림 1.9 참고). 따라서 식 1.4는 두 벡터의 내적이 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 벡터 크기로 비례한 것임을 뜻한다.
특히, u와 v 둘 다 단위벡터일 때 경우 u \cdot v 는 두 벡터 사이의 각도의 코사인이다.
즉 ,
식 1.4로부터 내적의 유용한 기하학적 속성 몇 가지를 이끌어낼 수 있다. 다음과 같다.
1. 만일 u \cdot v = 0이면 u \perp v 이다. (즉, 두 벡터는 직교이다).
2. 만일 u\cdot v > 0 이면 두 벡터 사이의 각도 세타는 90도보다 작다(즉, 두 벡터는 예각을 이룬다).
3. 만일 u\cdot v < 0이면 두 벡터 사이의 각도 세타는 90도보다 크다(즉, 두 벡터는 둔각을 이룬다).
참고: 직교(orthogonal)이라는 단어는 수직(perpendicular)의 동의어로 간주해도 무방하다.
예1.4
u = (1,2,3)이고 v = (-4,0,-1)이라고 할 때, u와 v 사이의 각도를 구해 보자. 우선 다음을 계산한다.
여기서 식 1.4를 적용하고 세타에 대해 정리하면 각도의 근사치가 나온다.
예1.5 직교투영
[그림 1.10]을 참고해서, 벡터 v와 단위벡터 n이 주어졌을 때 p를 내적을 이용해서 v와 n으로 표현하는 공식을 구해 보자.
우선, 그림을 보면 p = kn을 만족하는 스칼라 k가 존재함을 알 수 있다. 더 나아가서, ||n|| = 1이므로 ||p|| = ||kn|| = |k| ||n|| = |k| 이다. (k는 오직 p와 n이 반대 방향일때에만 음수임을 주목할 것.) 삼각함수 법칙* 들을 적용하면 k = ||v|| cos세타가 나온다. 따라서 p = kn = (||v||cos세타)n이다. 그런데 n은 단위벡터이므로, 이를 다음과 같이 표현할 수도 있다.
특히, 이 공식에 따르면
이다. 이는 n이 단위벡터일 때 v \cdot n 의 기하학적 의미를 말해준다. 이러한 p를 n에 대한 v의 직교투영(orthographic projection ; 또는 정사영)이라고 부르며, 흔히 다음과 같이 표기한다.
v를 하나의 힘으로 간주한다면 p는 힘 v 중에서 방향 n으로 작용하는 부분이라고 할 수 있다.
이와 비슷하게
는 힘 v 중에서 n의 수직 방향으로 작용하는 부분이다(이를 perp_{n}(v) 로 표기하는데, 여기서 perp는 perpendicular[수직]를 뜻한다).
v = p + w임을 주목하기 바란다. 즉, v는 두 직교벡터 p와 w의 합으로 분해된다.
n이 단위 길이가 아니면, 먼저 n을 정규화해서 단위 길이로 만들면 된다. 위의 투영 공식에서 n을 단위 벡터
으로 대체하면 다음과 같은 좀 더 일반적인 투영 공식이 나온다
이것을 내가 풀어서 해석하자면(쓸때없이 겁나 길게 써놨다;;)
위의 그림을 보면 단위벡터 n에 대해 벡터 V로부터의 투영벡터 P를 구하려고 하는것이다.
V와 n과의 내적은 ||V|| ||n|| cos세타 이다. (위에서 설명했다.)
여기서 n은 단위벡터이기 때문에 ||n|| = 1이다.
즉
이는 V를 n에 투영했을때의 길이를 말하므로, 여기서 구하고자 하는 P는 n을 p\cdot n 만큼 연장한 값이다.
그러므로 투영벡터 P는
그리고 그 밑에 부분에서 이해한 부분은 즉,
proj = cos세타 즉, V가 향하는 부분의 X값의 길이(?)이라는 뜻이고
perp = sin세타 즉, V가 향하는 부분의 Y값의 길이(?)이라고 이해를 하면 될 것 같았다.
-----------------------------------------변환에서 예시 1.5 부분까지 진행하기 위해서 이부분도 진행중, 현재 역 삼각함수에 대해서 이해가 필요함 ------------------------------------1030 22시06분 종료
-------------221101 , 삼각함수는 각도가 아니라 삼각비 인것을 알게됨 즉 각도는 역삼각함수가 맞음.