Public/Math(17)
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행렬식
행렬식(determinant)은 정방행렬(정사각형 행렬)을 받아서 실수 값을 산출하는 특별한 함수이다. 정방행렬 A의 행렬식을 흔히 det A로 표기한다. 기하학적으로 행렬식은 상자의 부피와 관련이 있는데, 행렬식이 선형변환 하에서 그 부피가 변하는 방식에 대한 정보를 제공함을 증명하는 것이 가능하다. 또한 행렬식은 크라메의 법칙(Cramer's rule)을 이용해서 1차 연립방정식을 푸는데에도 쓰인다. 그러나 이 책에서 행렬식을 이야기하는 것은, 행렬의 역을 구할 때 행렬식이 쓰이기 때문이다. 또한 다음과 같은 명제를 증명하는 것이 가능하다. 정방해렬 A는 오직 det A != 0 일 때에만 가역(역행렬이 존재함)이다. 이 명제를 이용하면 주어진 행렬의 역을 구하는 것이 가능한지를 손쉽게 판정할 수 있..
2022.10.10 -
행렬의 전치
행렬의 전치(transpose) , 즉 전치행렬은 주어진 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것을 말한다. 다라서 m x n 행렬의 전치는 n x m 행렬이다. 행렬 M의 전치행렬을 로 표기한다. 다음 세 행렬의 전치행렬을 각각 구해 보자. 위에서 말했듯이, 주어진 행렬의 행들과 열들을 맞바꾸면 된다. 전치행렬에는 다음과 같은 유용한 속성이 있다. \begin{flushleft} 1. (A+B)^{T} = A^{T}+B^{T}\\ 2. (cA)^{T}=cA^{T}\\ 3. (AB)^{T} = B^{T}A^{T}\\ 4. (A^{T})^{T} = A\\ 5. (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}\\ \end{flushleft}
2022.10.06 -
행렬 곱셈
정의 만일 A가 m x n 행렬이고 B가 n x p 행렬이면 둘의 곱은 AB가 정의된다. 곱 AB는 하나의 m x p 행렬이다. 이를 C라고 할 때, C의 ij번째 성분은 A의 i번째 행벡터와 B의 j번째 열벡터의 내적이다. 즉, (식2.1) C(ij) = A(i,*) · B(*,j) 이다. 따라서 행렬 곱 AB가 정의되려면 A의 열수와 B의 행 수와 일치해야 한다. 다른 말로 하면, A의 행벡터의 차원이 B의 열벡터의 차원과 일치해야 하는 것이다. 이 차원들이 일치하지 않으면 식 2.1의 내적이 말이 되지 않는다. [예시 1] 다음과 같은 행렬들이 있다고 하자. 그러면 곱 AB는 정의되지 않는다. A의 행벡터의 차원은 2지만 B의 열벡터의 차원은 3이기 때문이다. 좀 더 구체적으로, A의 첫 행벡터와 ..
2022.10.06 -
행렬
3차원 컴퓨터 그래픽에서 행렬은 비례나 회전, 이동 같은 기하학적 변환을 간결하게 서술하는 데 쓰이며, 점이나 벡터의 좌푤르 한 기준계에서 다른 기준계로 변환하는 데에도 쓰인다. 이번 장에서는 행렬의 수학을 살펴본다. 이번 장의 목표 행렬과 행렬에 대해 정의되는 연산들을 이해한다. 단위행렬이 무엇인지, 그리고 행렬의 전치, 행렬식, 역행렬이 무엇인지 배운다. 벡터와 행렬의 곱셈을 일차결합의 관점에서 바라보는 방법을 배운다. 행렬 수학에 쓰이는 XNA Math 라이브러리의 주요 클래스들과 함수들에 익숙해진다. 정의 m x n 행렬(matrix) M은 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 실수들의 정사각 배열이다. 행(row)들의 개수와 열(column)들의 개수를 곱한 것을 행렬의 차원이라고 부르고, 행렬을 ..
2022.10.04 -
벡터 연산
두 개의 벡터 와 와 상수 c 가 있다고 할 때 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다. 1.덧셈(addition) 2. 스칼라 곱셈(scalar multiplication) 3. 내적(dot product) ******* 4. 외적(cross product) 뺄셈은 덧셈과 스칼라 곱셈의 조합으로 나타낼 수 있으며 , 나눗셈 역시 마찬가지이므로 별도로 정의하지 않는다. 이들 연산 중에서 우리에게 중요한 것은 내적과 외적이다. 내적은 일반적으로 두 벡터 사이의 각이 90도 이상인가를 판단하는 중요한 값이다. cos의 그래프를 생각하면 알기 쉽겠지만 cos은 0가 90도 사이, 그리고 270도와 360도 사이에서만 양(plus)의 값을 갖는다. 이 성질을 이용하여 인간의 눈에 해당하는 eye - 벡터와 물체의..
2022.08.21